Question

5．设函数$f（x）=mlnx+\frac{n}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）若b＞a＞1，$A=f（\frac{a+b}{2}）$，$B=\frac{f（a）+f（b）}{2}$，$C=\frac{bf（b）-af（a）}{b-a}-1$，试判断A，B，C三者是否有确定的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，根据导函数的意义和切线方程的概念求出参数m，n的值即可；
（Ⅱ）利用作差的方法：A，B关系易判断；
A，C与C，B判断时，作差，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，进而得出结论．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{m}{x}-\frac{n}{x^2}$．
由于$\left\{\begin{array}{l}f（1）=n=0\\ f'（1）=m-n=1\end{array}\right.$所以m=1，n=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx．
（i）$A-B=ln\frac{a+b}{2}-\frac{lna+lnb}{2}=ln\frac{a+b}{{2\sqrt{ab}}}≥1=0$，
而a≠b，故A＞B．
（ii）$A-C=ln\frac{a+b}{2}-（\frac{blnb-alna}{b-a}-1）$=$\frac{1}{b-a}[{（b-a）ln\frac{a+b}{2}-blnb+alna+b-a}]$．
设函数$g（x）=（x-a）ln\frac{x+a}{2}-xlnx+alna+x-a$，x∈（0，+∞），
则$g'（x）=ln\frac{x+a}{2x}+\frac{x-a}{x+a}$，$g''（x）=\frac{a（x-a）}{{x{{（x+a）}^2}}}$．
当x＞a时，g''（x）＞0，所以g'（x）在（a，+∞）上单调递增；
又g'（x）＞g'（a）=0，因此g（x）在（a，+∞）上单调递增．
又b＞a，所以g（b）＞g（a）=0，即A-C＞0，即A＞C．
（iii）$C-B=\frac{blnb-alna}{b-a}-1-\frac{lna+lnb}{2}$=$\frac{1}{b-a}（\frac{a+b}{2}lnb-\frac{a+b}{2}lna+a-b）$．
设$h（x）=\frac{x+a}{2}lnx-\frac{x+a}{2}lna-x+a$，x∈（0，+∞）．
则$h'（x）=\frac{1}{2}lnx+\frac{a}{2x}-\frac{1}{2}lna-\frac{1}{2}$，有$h''（x）=\frac{x-a}{{2{x^2}}}$．
当x＞a时，h''（x）＞0，所以h'（x）在（a，+∞）上单调递增，有h'（x）＞h'（a）=0．
所以h（x）在（a，+∞）上单调递增．
又b＞a，所以h（b）＞h（a）=0，即C-B＞0，故C＞B．
综上可知：A＞C＞B．

点评 本题主要考查了函数的构造和利用导函数判断函数的单调性，难点是对题意的转化和函数的构造．