Question

14．已知${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展开式的各项系数之和等于${（{4\root{3}{b}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$展开式中的常数项，求${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$展开式中含$\frac{1}{a}$的项的二项式系数．

Answer 1

分析 令a=1求得${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展开式的各项系数之和，
由二项展开式的通项公式求得${（{4\root{3}{b}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$展开式中的常数项，
从而求得n的值，再计算${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^7}$展开式中$含\frac{1}{a}$项的二项式系数．

解答 解：令a=1得${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^n}$的展开式的各项系数之和为2ⁿ，…（2分）
由二项展开式的通项公式得
${T_{r+1}}=C_5^r{（4\root{3}{b}）^{5-r}}{（-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}）^r}=C_5^r{4^{5-r}}{（-\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^r}b_{\;}^{\frac{10-5r}{6}}$，
令10-5r=0，解得r=2，…（4分）
所以${（{4\root{3}{b}-\frac{1}{{\sqrt{5b}}}}）^5}$的展开式中的常数项是第3项，
即${T_3}=C_5^2{4^3}{（-\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^2}={2^7}$，
由2ⁿ=2⁷得n=7；…（8分）
对于${（{\frac{3}{{\sqrt{a}}}-\root{3}{a}}）^7}$，由二项展开式的通项公式得
${T_{r+1}}=C_7^r{（\frac{3}{{\sqrt{a}}}）^{7-r}}{（-\root{3}{a}）^r}={（-1）^r}C_7^r{3^{7-r}}a_{\;}^{\frac{5r-21}{6}}$，
所以$含\frac{1}{a}$的项是第4项，其二项式系数是$C_7^3=35$．…（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了二项式系数与常数项的应用问题，是中档题．