Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；
（Ⅱ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，
∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=-2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴1=-2cosC，得cosC=$-\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（I）得C=$\frac{2π}{3}$，则A+B=π-C=$\frac{π}{3}$，
即B=$\frac{π}{3}$-A，所以$0＜A＜\frac{π}{3}$，
∴sinAcosB=sinAcos（$\frac{π}{3}$-A）
=sinA（cos$\frac{π}{3}$cosA+sin$\frac{π}{3}$sinA）=sinA（$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=$\frac{1}{4}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}sin2A-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2A$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$0＜A＜\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}$，
则$-\frac{\sqrt{3}}{2}＜sin（2A-\frac{π}{3}）＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{4}＜\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{2}＜\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴sinAcosB的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}）$．

点评 本题考查正弦定理，两角和与差的正弦公式、两角差的余弦公式、内角和定理等，以及正弦函数的性质的应用，考查转化思想，整体思想，化简、变形能力．