Question

8．（1）曲线C：$\frac{x^2}{4-k}-\frac{y^2}{1-k}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，则k的范围；
（2）求以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，且过点$M（\sqrt{6}，2）$的椭圆标准方程．

Answer 1

分析 （1）化曲线C的方程为椭圆的标准方程，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，求解不等式得答案；
（2）由题意得到c，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求．

解答 解：（1）∵曲线C：$\frac{x^2}{4-k}-\frac{y^2}{1-k}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{4-k}+\frac{{y}^{2}}{k-1}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-k＞0}\\{k-1＞0}\\{4-k＞k-1}\end{array}\right.$，解得1＜k＜$\frac{5}{2}$，
∴k的范围是（1，$\frac{5}{2}$）；
（2）∵椭圆过点$M（\sqrt{6}，2）$，且焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴c=2，
2a=$\sqrt{（\sqrt{6}+2）^{2}+{2}^{2}}+\sqrt{（\sqrt{6}-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{14+2\sqrt{24}}+\sqrt{14-2\sqrt{24}}$=$2\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}=4\sqrt{3}$．
∴$a=2\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=8．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．