Question

5．关于函数$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，有如下问题：
①$x=\frac{π}{12}$是f（x）的图象的一条对称轴；
②$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；
③将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可得到奇函数的图象；
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数f（x）化简，结合三角函数的图象及性质依次对各项进行判断即可．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}{cos^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x$，
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
对于①：当x=$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值2，∴x=$\frac{π}{12}$是其中一条对称轴．故①对．
对于②：f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
-f（$\frac{π}{3}$-x）=-2sin（-2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$）=-2sin2x，
∴$?x∈R，f（{\frac{π}{3}+x}）=-f（{\frac{π}{3}-x}）$；故②对．
对于③将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可得2sin[2（x$-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）不是奇函数，故③不对
④?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≥4．
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），当x₁=$\frac{π}{6}$，${x}_{2}=-\frac{5π}{12}$时，|f（x₁）-f（x₂）|=4，存在x₁，x₂∈R使得|f（x₁）-f（x₂）|≥4，故④对．
∴真命题的个数是3．
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．