Question

13．如图，在斜三梭柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC₁B₁
（1）求证：E是AB中点；
（2）若AC₁⊥A₁B，求证：AC₁⊥BC．

Answer 1

分析 （1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．
（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．

解答 证明：（1）连结BC₁，取AB中点E′，
∵侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，
∴O为AC₁的中点，
∵E′是AB的中点，
∴OE′∥BC₁；     
∵OE′?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴OE′∥平面BCC₁B₁，
∵OE∥平面BCC₁B₁，
∴E，E′重合，
∴E是AB中点；
（2）∵侧面AA₁C₁C是菱形，
∴AC₁⊥A₁C，
∵AC₁⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A₁，A₁C?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵BC?平面A₁BC，
∴AC₁⊥BC．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．