Question

4．如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=6$\sqrt{2}$．

（1）求证：OD⊥平面ABC；
（2）求三棱锥M-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，由此能证明OD⊥面ABC．
（2）由V_M-ABD=V_D-ABM，能求出三棱锥M-ABD的体积．

解答 满分（12分）．
证明：（1）∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC，…（1分）
△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，
又M是BC的中点，∴$OM=\frac{1}{2}AB=6，MD=6\sqrt{2}$，
∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM…（4分）
∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O，∴OD⊥面ABC． …（6分）
解：（2）△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°，
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}•AB•BM•sin∠ABM$=$\frac{1}{2}•12•6•\frac{\sqrt{3}}{2}$=18$\sqrt{3}$，…（8分）
由（1）得OD⊥面ABC，
∴V_M-ABD=V_D-ABM=$\frac{1}{3}•OD•{S}_{△ABM}$
=$\frac{1}{3}×6×18\sqrt{3}=36\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积计算等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．