Question

19．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AA₁的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求点E到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BC₁的中点为F，连接EF，DF，则EF是△BCC₁的中位线，证明：AE∥DF，即可证明直线AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）利用等体积方法，求点E到平面BC₁D的距离．

解答 （Ⅰ）证明：设BC₁的中点为F，连接EF，DF，则EF是△BCC₁的中位线，
根据已知得EF∥DA，且EF=DA，（2分）
∴四边形ADFE是平行四边形，所以AE∥DF，
∵DF?平面BDC₁，AE?平面BDC₁
∴直线AE∥平面BDC₁．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的结论可知直线AE∥平面BDC₁，
所以点E到平面BDC₁的距离等于点A到平面BDC₁的距离，设为h．
∴${V_{E-B{C_1}D}}={V_{A-B{C_1}D}}={V_{B-A{C_1}D}}$，（8分）
∴$\frac{1}{3}{S_{△B{C_1}D}}•h=\frac{1}{3}{S_{△A{C_1}D}}•\sqrt{3}$，（10分）
∴$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2\sqrt{5}•\sqrt{3}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•\sqrt{3}$，
所以解方程得，$h=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
所以点E到平面BDC₁的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．