Question

7．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF与平面ABCD垂直，ADEF是正方形，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，M为线段ED的中点．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求三棱锥D-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面BEC．
（2）利用向量法求出DB⊥BC，DE⊥BC，由此能证明BC⊥平面BDE．
（3）由V_D-BCE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×DE$，能求出三棱锥D-BCE的体积．

解答 证明：（1）∵平面ADEF与平面ABCD垂直，ADEF是正方形，
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，M为线段ED的中点，
∴A（1，0，0），M（0，0，$\frac{1}{2}$），B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（1，1，-2），
$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-2），
设平面BEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=0，AM?平面BEC，∴AM∥平面BEC．
证明：（2）$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴DB⊥BC，DE⊥BC，
∵DB∩DE=D，∴BC⊥平面BDE．
解：（3）V_D-BCE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×DE$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×DC×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．