Question

已知函数f（x）=x³-

3

（a+1）x²+3ax．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在（-∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，判断过点A（1，-

5

2

）可作曲线y=f（x）多少条切线，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，由f′（1）=0，a=-1，从而求出函数的表达式，
（2）由△=12（a+1）²-36a＞0，解出即可，
（3）f′（x）=3（x²-1），设切点M（x₀，y₀），得2x03-3x02+

1

2

=0，设g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，通过求导得出函数的极大值点和极小值点，从而得到函数g（x₀）有三个零点，
问题得以解决．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，
∵f′（1）=0，
∴3+3a-2

3

（a+1）=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
显然在x=1附近f′（x）符号不同，
∴x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f（x）=x³-3x，
（2）若函数f（x）在（-∞，+∞不单调，
则f′（x）=0应有二不等根，
∴△=12（a+1）²-36a＞0，
∴a²-a+1＞0，
∴a＞

1+ 5

2

，或a＜

1- 5

2

，
（3）f′（x）=3（x²-1），设切点M（x₀，y₀），
则M纵坐标y₀=x03-3x₀，又f′（x₀）=3（x02-1），
∴切线的斜率为3（x02-1）=

x03-3x0+ 5 2

x0-1

，
得2x03-3x02+

1

2

=0，
设g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，
∴g′（x₀）=6x02-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1，
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，
∴函数g（x₀）的极大值点为x₀=0，极小值点为x₀=1，
∵

g(0)= 1 2 g(1)=- 1 2

，
∴函数g（x₀）有三个零点，
∴方程2x03-3x02+

1

2

=0有三个实根
∴过点A（1，-

5

2

）可作曲线y=f（x）三条切线．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，求曲线的方程，是一道综合题．