Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，右焦点F₂到直线

x

a

+

y

b

=0的距离为1．
（1）求椭圆的C方程；
（2）已知直线y=k（x-2）（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，在轴x上是否存在定点E，使

EM

•

EM

为定值？若存在，求出E点的坐标和定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得e=

c

a

=

6

3

，

|bc|

a2+b2

=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韦达定理结合已知条件能求出

EM

•

EN

=m2-6=-

5

9

为定值时，定点为E（

7

3

，0）．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

6

3

，得c=

6

3

a，①
又在右焦点F₂（c，0）到直线

x

a

+

y

b

=0的距离为d=1，
得

|bc|

a2+b2

=1，②
由①②，得a²=6，b²=2，
∴椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得

EM

•

EN

为定值，
则有

EM

•

EN

=(x1-m，y1)•（x₂-m，y₂）=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+（4k²+m²）
=（k²+1）•

12k2-6

1+3k2

-（2k²+m）•

12k2

1+3k2

+(4k2+m2)
=

(3m2-12m+10)k2+(m2-6)

3k2+1

，
更使上式为定值，即与k无关，则应使3m²-12m+10=3（m²-6），
解得m=

7

3

，此时

EM

•

EN

=m2-6=-

5

9

为定值，定点为E（

7

3

，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使向量的数量积为定值的x轴上的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．