Question

如图所示，A、B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下顶点，椭圆C的焦点F与抛物线y²=4

2

x的焦点重合，且S_△ABF=

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过点A的直线l与椭圆相交于P、Q两点，且AP⊥AQ，求证：直线l过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点，由S_△ABC=

2

，得到bc=

2

，运用a，b，c的关系，求出a，b，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l：y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用韦达定理和斜率公式，化简即可得到
t=1或-

1

2

，从而说明直线l经过定点．

解答： （1）解：∵抛物线y²=4

2

x的焦点为（

2

，0），
∴椭圆C焦点F为（

2

，0），
即c=

2

，a²-b²=2，又S_△ABC=

2

，
即bc=

2

则b=1，a²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y²=1；
（2）证明：设直线l：y=kx+t，p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又

x2

3

+y²=1，联立直线方程与椭圆方程，消去y，即有
x²+3（k²x²+2ktx+t²）-3=0，（1+3k²）x²+bktx+（3t²-3）=0
x₁+x₂=

-6kt

1+3k2

，x₁x₂=

3t2-3

1+3k2

，
又∵AP⊥AQ，
∴k_AP•kAQ=-1即

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=-1，
即y₁y₂-（y₁+y₂）+1+x₁x₂=0，（kx₁+t）（kx₂+t）-[k（x₁+x₂）+2t]+1+x₁x₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+（kt-k）（x₁+x₂）+t²-2t+1=0，
即（1+k²）•

3t2-3

1+3k2

+k（t-1）•

-6kt

1+3k2

+t²-2t+1=0，
即

3[(t2-1)-k2(t-1)2]

1+3k2

+（t-1）²=0
即（t-1）（4t+2）=0，
∴t=1或-

1

2

，
故直线l恒过定点（0，1），（0，-

1

2

）．

点评：本题主要考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆联立，运用韦达定理，解决问题是解析几何中常用的方法，必须掌握．