Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）已知，，设函数的最大值为，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数，分和两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一，使得，进而得出的单调性和最值，再结合函数的单调性，即可求解．

（Ⅰ）由题意，函数，则，

①当时，，所以函数在上单调递增；

②当时，当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（Ⅱ）依题意得，则，

因为当时，由（Ⅰ）可知在上单调递增，

又因为，

所以存在唯一，使得.

当时，，，在上单调递增；

当时，，，在上单调递减；

因此在处取得最大值，

且最大值为，

设，则，

所以在上递减，所以，即．