Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+1
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{5}{6}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（2）由条件求得sinθ和cosθ的值，从而求得 cos（θ+$\frac{π}{4}$）=cosθcos$\frac{π}{4}$-sinθsin$\frac{π}{4}$ 的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈z．
（2）若f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（θ+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=sinθ+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{1}{3}$，∴cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（θ+$\frac{π}{4}$）=cosθcos$\frac{π}{4}$-sinθsin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．