Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数图象交于不同的两点A、B．
（2）求证：方程f（x）-g（x）=0的两根均小于2．
（3）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据条件得到a＞0，c＜0，由方程组

y=ax2+bx+c y=-bx

可得，ax²+2bx+c=0  ①，求出该方程的判别式并容易判断△＞0，所以该方程有两个不同实根，也就得到两函数图象有两个不同交点；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），则知道h（x）图象为抛物线，并开口向上，能够求出h（x）的对称轴在x=2的左边，并且h（2）＞0，所以便得到方程f（x）-g（x）=0的两根均小于2；
（3）设方程①的两根为x₁，x₂，根据韦达定理可得x1+x2=

2a+2c

a

，x1x2=

c

a

，所以得到|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

，而

c

a

的范围可由a＞-a-c＞c求出，然后根据二次函数的单调性或图象即可得到|A₁B₁|的范围．

解答： 解：（1）证明：由已知条件知，a＞0，c＜0，联立方程组得ax²+2bx+c=0  ①；
∴△=4b²-4ac＞0；
∴方程①有两个不同实数根；
即两函数图象交于不同的两点A，B；
（2）证明：设h（x）=f（x）-g（x）=ax²+2bx+c；
∵a+b+c=0；
∴b=-a-c
∴函数h（x）的对称轴为-

b

a

=

a+c

a

=1+

c

a

＜1＜2；
又h（2）=4a+4b+c=4a-4（a+c）+c=-3c＞0；
∴h（x）=0的两实数根均小于2；
即f（x）-g（x）=0的两根均小于2；
（3）设方程ax²+2bx+c=0的两根为x₁，x₂，则：
x1+x2=-

2b

a

=

2a+2c

a

，x1•x2=

c

a

；
∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2a+2c a )2- 4c a

=2

( c a )2+ c a +1

=2

( c a + 1 2 )2+ 3 4

；
∵a＞-a-c＞c；
-2＜

c

a

＜-

1

2

；
∴

3

4

＜(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

＜3；

3

＜|A1B1|＜2

3

；
∴线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围为（

3

，2

3

）．

点评：考查一元二次方程解的情况和判别式△的关系，韦达定理，以及完全平方式，以及根据二次函数的单调性求二次函数的值域．