Question

如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。

Answer 1

（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面。
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为
=，又因为，
所以=，当且仅当时等号成立，
从而，而圆柱的体积，
故=当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是。
（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由，故，
取得平面的一个法向量为，因为，
所以。