Question

17．已知点M（4，0），点P在曲线y²=8x上运动，点Q在曲线（x-2）²+y²=1上运动，则$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$取到最小值时P的横坐标为2．

Answer 1

分析 设圆心为F，则容易知道F为抛物线y²=8x的焦点，并且$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$最小时，PM经过圆心F，设P（x，y），则：
|PM|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+8x=x²+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$，求$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$的最小值即可．

解答 解：如图，设圆心为F，则F为抛物线y²=8x的焦点，该抛物线的准线方程为x=-2，设P（x，y），
由抛物线的定义：|PF|=x+2，要使$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$
∴$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+3}$，
令x+3=t（t≥3），则x=t-3，
∴$\frac{|PM{|}^{2}}{|PQ|}$=t+$\frac{25}{t}$-6≥4，当t=5时取“=“；
此时x=2．
故答案为：2．

点评 考查抛物线的标准方程，焦点坐标公式，准线方程，及抛物线的定义，圆的标准方程，利用基本不等式求函数的最值．