Question

已知复数z=a+bi（a、b∈R），若存在实数t使a-bi=

2+4i

t

-3ati成立．
（1）求证：2a+b为定值；
（2）若|z-2|＜a，求|z|的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由条件利用两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，求得2a+b=6，从而证得结论．
（2）由|z-2|＜a，可得0＜a＜2，或a＞5；再根据|z|=

5a2-24a+36

，利用二次函数的性质求得|z|的范围．

解答： 解：（1）证明：∵复数z=a+bi（a、b∈R），若存在实数t使a-bi=

2+4i

t

-3ati成立，
则ta-tbi=2+（4-3at²）i，可得ta=2，-tb=4-3at²，∴-b•

2

a

=4-3a•

4

a2

，即-2b=4a-12，
化简可得2a+b=6，即2a+b为定值．
（2）若|z-2|＜a，则

(a-2)2+b2

＜a，∴a＞0，且

(a-2)2+(6-2a)2

＞a．
化简可得（a-2）（a-5）＞0，求得0＜a＜2，或a＞5．
而|z|=

a2+b2

=

a2+(6-2a)2

=

5a2-24a+36

，
当0＜a＜2 时，|z|∈（2

2

，6）；当a＞5 时，|z|＞

41

．
综上可得，|z|的取值范围为（2

2

，6）∪（

41

，+∞）．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，二次函数的性质，属于基础题．