Question

已知函数f（x）=

log2(1-x)+1，-1≤x＜k x2-3x+2，k≤x≤a

，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：分别作出函数y=log₂（1-x）+1，（x＞-1）和y=x²-3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜

1

2

，a≥

1

2

，的情况，即可得到结论．

解答： 解：分别作出函数y=log₂（1-x）+1，（x＞-1）
和y=x²-3x+2的图象，
由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，
由于f（-1）=log₂2+1=2，f（0）=0²-3×0+2=2，
显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，
又f（

1

2

）=log2(1-

1

2

)+1=0，若a＜

1

2

，则最小值0取不到，
则a≥

1

2

，
综上可得，

1

2

≤a≤1．
即有实数a的取值范围是[

1

2

，1]．
故答案为：[

1

2

，1]．

点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．