Question

18．记max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，f（x）=max{|x-m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是[-3，1]．

Answer 1

分析 存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；从而可得m＜-3或m＞1；从而求实数m的取值范围．

解答 解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是
任意实数x，恒有f（x）＞1成立；
当x＞0或x＜-2时，|x+1|＞1，
故f（x）＞1成立；
当-2≤x≤0时，|x+1|≤1，
故|x+m|＞1在[-2，0]上恒成立，
故m＜-3或m＞1；
故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，
实数m的取值范围是[-3，1]．
故答案为：[-3，1]．

点评 本题考查了命题的否定与分段函数的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．