Question

2．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁=3，点P在棱CC₁上，则三棱锥P-ABA₁的体积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 点P到平面ABA₁的距离即为△ABC的高，由此能求出三棱锥P-ABA₁的体积．

解答 解：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=3，点P在棱CC₁上，
∴点P到平面ABA₁的距离即为△ABC的高，即为h=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$，
三棱锥P-ABA₁的体积为：V=$\frac{1}{3}×{S}_{△AB{A}_{1}}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合、化归与转化思想，是中档题．