Question

已知函数f（x）=

a

x+2

（x∈R且x≠-2）．
（Ⅰ）函数y=f（x）图象是否是中心对称图形，如果是求出其对称中心，并给予证明；如果不是请说出理由．（Ⅱ）当a=-1时，数列{a_n}满足a₁=-

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
①求数列{a_n}的通项；
②求证：（2-a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据函数y=

1

x

的图象和性质判断出f（x）=

a

x+2

（x∈R且x≠-2）．设点图象上的任意一点P₁（x₀，y₀），则关于（-2，0）的对称点为P₂（-4-x₀，-y₀），把P₂（-4-x₀，-y₀）代入验证即可．
（Ⅱ）①化简得出

1

an+1+1

-

1

an+1

=1，判断等差数列，运用等差数列的通项公式求解．②转化为证（n+1）ln（1+

1

n+1

）＞nln（1+

1

n

），构造函数g（x）=

1

x

ln（1+x）即证g（x）在（0，+∞）单调递减，运用导数判断分析，再次求导判断符号．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数y=

1

x

的对称中心（0，0），
∴函数y=f（x）=

a

x+2

的对称中心为（-2，0），
∴函数y=f（x）图象是中心对称图形，
证明：设图象上的任意一点P₁（x₀，y₀），则关于（-2，0）的对称点为P₂（-4-x₀，-y₀）
∵y₀=

a

x0+2

，

a

-4-x0+2

=

a

-x0-2

=-

a

x0+2

=-y0
∴P₂（-4-x₀，-y₀）在函数图象上，
∴函数y=f（x）图象是中心对称图形，对称中心为（-2，0）．
（Ⅱ）①当a=-1时，数列{a_n}满足a₁=-

1

2

，a_n+1=f（a_n）．
得出a_n+1=-

1

an+2

，
a_n+1+1=

an+1

an+2

由a_n+1=0，与a₁=-

1

2

矛盾
∴

1

an+1+1

-

1

an+1

=1
∴{

1

an+1

}为首项为2，公差为1的等差数列
∴

1

an+1

=2+n-1=n+1
故数列{a_n}的通项a_n=-

n

n+1

②由a_n=-

n

n+1

代入要证明（2+a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1，即证（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹＞(1+

1

n

)n
只需证（n+1）ln（1+

1

n+1

）＞nln（1+

1

n

），令函数g（x）=

1

x

ln（1+x）即证g（x）在（0，+∞）单调递减，
g′（x）=

x x+1 -ln(1+x)

x2

，令h（x）=

x

x+1

-ln（1+x）（x＞0）
h′（x）=

1

x+1

（

1

x+1

-1），∵x＞0，∴h′（x）=

1

x+1

（

1

x+1

-1）＜0
∴h（x）=

x

x+1

-ln（1+x）（x＞0）单调递减，
∴h（0）=0，h（x）＜h（0）=0
∴g′（x）＜0，即函数g（x）=

1

x

ln（1+x）即证g（x）在（0，+∞）单调递减，
故不等式（2-a_n）ⁿ⁺¹（-a_n）ⁿ＞1成立．
，∴h′(x)＜0即函数h(x)在(0，+∞)上是减函数，

点评：本题综合考查了函数的图象的对称性，有关数列的不等式，转化为证明函数的单调性，借助导数研究，综合性很强，做题思路要清晰，认真．