Question

6．一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sqrt{33}$≈5.7446）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；
（2）建立坐标系，求出P的轨迹方程，即可解决．

解答 解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．
△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC=$\frac{sin120°}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴∠BAC=17°，
∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，
△ABC中，由余弦定理可得cos120°=$\frac{16+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{8BC}$，∴BC≈1.68615．
B到边界线l的距离为3.8-4sin30°=1.8，
∵1.68615＜1.8，
∴能最短时间在领海内拦截成功；
（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2$\sqrt{3}$），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，

即x²+y²=9[（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²]，即（x-$\frac{9}{4}$）²+（y-$\frac{9}{4}\sqrt{3}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴P的轨迹是以（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}\sqrt{3}$）为圆心，$\frac{3}{2}$为半径的圆，
∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，
∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查轨迹方程，属于中档题．