Question

15．在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=si{n}^{2}α}\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C₃：ρ=2sinθ
（1）求曲线C₁与C₂的交点M在直角坐标系xoy中的坐标；
（2）设点A，B分别为曲线C₂，C₃上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）将曲线C₁消去参数，即可求得曲线的普通方程，求得曲线C₂的直角坐标方程，联立即可求得M点坐标；
（2）求得曲线C₃的直角坐标方程，利用点的坐标公式，圆心到直线的距离，即可求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=si{n}^{2}α}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数α，
整理得：y+x²=1，x∈[-1，1]，①
曲线C₂：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则x+y+1=0，②
联立①②，消去y可得：x²-x-2=0，x=-1，x=2（舍去），
∴M（-1，0）；
（2）曲线C₃：ρ=2sinθ，则x²+（y-1）²=1，则以（0，1）为圆心，半径r=1，
设圆心C，点C，B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d′
则d=$\frac{丨0+1+1丨}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
丨AB丨≥d′≥d-r=$\sqrt{2}$-1，
∴丨AB丨的最小值为$\sqrt{2}$-1

点评 本题考查抛物线的参数方程，圆的极坐标方程，直线圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．