Question

18．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{6}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数性质化简得到f（x）=2sin2x，由此能求出函数的单调增区间．
（Ⅱ）法1：由f（α）=2sin2α=$\frac{6}{5}$，得到sin2α=$\frac{3}{5}$，由此先求出cos2α，再由 $α∈（0，\frac{π}{4}）$，能求出cosα．
法2：由f（α）=2sin2α=$\frac{6}{5}$，得到sin2α=$\frac{3}{5}$，由此利用二倍角公式和同角三角函数间的关系式得${cos^4}α-{cos^2}α+\frac{9}{100}=0$，再由 $α∈（0，\frac{π}{4}）$，能求出cosα．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{3}）=2sin（2x+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=2sin2x…（3分）
∴函数y=sinX的单调增区间为$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]，k∈Z$
∴由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$-\frac{π}{4}+kπ$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z，…（4分）
∴函数的单调增区间：$[-\frac{π}{4}+kπ$，$\frac{π}{4}+kπ]$，k∈Z，…（5分）
（Ⅱ）解法1：$f（α）=2sin2α=\frac{6}{5}⇒$$sin2α=\frac{3}{5}$，…（7分）
又$α∈（0，\frac{π}{4}）$，故$cos2α=\frac{4}{5}=2{cos^2}α-1$…（9分）
∴$cosα=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（10分）
解法2：$f（α）=2sin2α=\frac{6}{5}⇒$$sin2α=2sinαcosα=\frac{3}{5}$，…（7分）
又sin²α+cos²α=1…（8分）
消去sinα，得${cos^4}α-{cos^2}α+\frac{9}{100}=0$，
解得${cos^2}α=\frac{1}{10}$或${cos^2}α=\frac{9}{10}$，
从而$cosα=±\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，或$cosα=±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（9分）
因为$α∈（0，\frac{π}{4}）$，所以$cosα=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（10分）

点评 本题考查三角函数的增区间和函数值的求法，是中档题，解题要认真审题，注意二倍角公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式的合理运用．