Question

已知函数f（x）=

x2+3x ，x≥0 3x-x2 ， x＜0

，若f（a²-6）+f（-a）＞0，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，再研究函数的奇偶性，由此性质转化求解不等式，解出a的范围即可．

解答： 解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x²+3x，
由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f（x）=3x-x²，
由二次函数的性质知，它在（-∞，0）上是增函数，
该函数连续，则函数f（x）是定义在R上的增函数．
且f（x）=3x+x|x|，则f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数．
∵f（a²-6）+f（-a）＞0，∴f（a²-6）＞-f（-a），
即有f（a²-6）＞f（a），即有a²-6＞a，
解得a＞3或a＜-2．
则实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）
故答案为：（-∞，-2）∪（3，+∞）

点评：本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用奇偶性和单调性将不等式转化为一元二次不等式，是解题的关键，属于中档题．