Question

15．已知函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），x∈R
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=$\sqrt{7}$且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由此能求出函数y=f（x）的最小正周期和函数y=f（x）的单调增区间．
（2）由f（A）=2，求出A=$\frac{π}{3}$，由$a=\sqrt{7}$，利用余弦定理得b=2c．由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow{b}$=（cosx，1），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函数y=f（x）的最小正周期为T=π，
单调递增区间满足-$\frac{π}{2}$+2kπ$≤2x+\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数y=f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵$a=\sqrt{7}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7，①
∵sinB=2sinC，∴b=2c．②
由①②得c²=$\frac{7}{3}$，∴${S}_{△ABC}=\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法，考查三角形面积的求法，考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．