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某高校组织自主招生考试,共有2 000名优秀同学参加笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成8组:第1[195,205),第2[205,215),第8[265,275].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在260(260)以上的同学进入面试.

(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中,参加面试的同学人数;

(2)面试时,每位同学抽取两个问题,若两个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上,则获A类资格;其他情况下获B类资格.现已知某中学有两人获得面试资格,且仅有一人笔试成绩为270分以上,在回答两个面试问题时,两人对每一个问题正确回答的概率均为,求恰有一名同学获得该高校B类资格的概率.

 

12802

【解析】(1)设第i(i1,28)组的频率为fi,则由频率分布直方图知f71(0.0040.010.010.020.020.0160.008)×100.12.

所以成绩在260分以上的同学的概率Pf80.14

2 000×0.14280

故这2 000名同学中,取得面试资格的约为280人.

(2)不妨设两名同学分别为MN,且M的笔试成绩在270分以上,则对于M,答题的可能有M11M10M01M00,对于N,答题的可能有N11N10N01N00,其中角标中的1表示正确,0表示错误,如N10表示N同学第一题正确,第二题错误.

将两名同学的答题情况列表如下:

 

M11

M10

M01

M00

N11

AB

BB

BB

CB

N10

AB

BB

BB

CB

N01

AB

BB

BB

CB

N00

AC

BC

BC

CC

表中AB表示MA类资格,NB类资格;BC表示MB类资格,N没有获得资格.

所以恰有一名同学获得该高校B类资格的概率为.

 

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