Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD为底的等腰三角形．

(Ⅰ)证明：AD⊥PB；

(Ⅱ)若四棱锥P－ABCD的体积等于，平面CMN∥平面PAD，且分别交PB，AB于点M，N，试确定M，N的位置，并求△CMN的面积．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 见解析

【解析】

试题分析：(1) 取AD的中点G,通过证明AD⊥面PGB，可得AD⊥PB.

(2) 先证明PG⊥底面ABCD，由VP－ABCD＝×PG×＝，得PG＝，进而求得CN＝2，CM＝，及S△CMN.

试题解析：(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接PG，GB，

因为PA＝PD，

所以PG⊥AD，

因为AB＝AD，∠DAB＝60°，

所以△DAB是等边三角形，所以BG⊥AD，

又因为PG∩BG＝G，PG，BG面PGB，

所以AD⊥面PGB，所以AD⊥PB.

(Ⅱ)解：分别取PB，AB的中点M，N，

则MN∥PA，

因为ABCD是梯形，且DC∥AB，DC＝AB，

所以CD∥AN，DC＝AN，于是ANCD为平行四边形，所以CN∥AM，

所以面CMN∥面PAD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，

所以PG⊥底面ABCD，

又ABCD的面积为(1＋2)×＝，

所以VP－ABCD＝×PG×＝，得PG＝，

所以PA＝＝2，得MN＝1，CN＝2，

在△PBC和△CBM中，=，

所以△PBC∽△CBM，得CM＝，

所以△CNM是直角三角形，

S△CMN＝·MN·CM＝.