Question

13．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥$\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由，f′（x）＞0⇒x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0⇒0＜x＜$\frac{1}{e}$，可得f（x）的单增区间，即可得f（x）的极值
（2）由$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$变形，得$m≤\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}$恒成立，令$g（x）=\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}（x＞0）$，利用导数求解

解答 解析：（1）f'（x）=lnx+1，f′（x）＞0⇒x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0⇒0＜x＜$\frac{1}{e}$
∴f（x）的单调增区间是$（\frac{1}{e}，+∞）$，单调减区间是$（0，\frac{1}{e}）$．
∴f（x）在$x=\frac{1}{e}$处取得极小值，极小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．
（2）由$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$变形，得$m≤\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}（x＞0）$，$g'（x）=\frac{{2x+{x^2}-3}}{x^2}$，
由g'（x）＞0⇒x＞1，g'（x）＜0⇒0＜x＜1．
所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
所以，g（x）_min=g（1）=4，即m≤4，所以m的最大值是4．

点评 本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，考查了利用导数处理恒处理问题，属于中档题．