Question

2．函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，试判断函数f（x+3）的奇偶性．

Answer 1

分析 由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导即可．

解答 解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函数f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函数．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
即函数f（x+3）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义结合函数的周期性是解决本题的关键．