Question

4．已知a，b，c分别是△ABC的中角A，B，C的对边，acsinA+4sinC=4csinA．
（1）求a的值；
（2）圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），△OBC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b+c=4，判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理求得a的值．
（2）设BC的中点为D，根据△OBC的面积为 $\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得OD的值，可得∠A=60°，再利用余弦定理求得b=c=2，从而判断△ABC为等边三角形．

解答 解：（1）△ABC的中，∵acsinA+4sinC=4csinA，∴a²c+4c=4ac，∴a=2．
（2）∵圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），设BC的中点为D，
∵△OBC的面积为 $\frac{1}{2}$•BC•OD=$\frac{1}{2}$•a•OD=$\frac{1}{2}$•2•OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即△ABC的外接圆的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠BOC=120°，∴∠A=60°．
∵b+c=4，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（b+c）}^{2}-2bc-4}{2bc}$=$\frac{16-2bc-4}{2bc}$，
求得bc=4，故b=c=2，故此时，△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．