Question

14．向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4）的夹角为π，|$\overrightarrow{AB}$|=10，若点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为（7，-6）．

Answer 1

分析 设B（m，n），求得向量AB的坐标，运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程可得m，n，检验即可得到所求B的坐标．

解答 解：设B（m，n），则$\overrightarrow{AB}$=（m-1，n-2），
由|$\overrightarrow{AB}$|=10，可得（m-1）²+（n-2）²=100，①
由向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$=（-3，4）的夹角为π，
可得-3（n-2）=4（m-1），②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
当m=-5，n=10时，$\overrightarrow{AB}$=（-6，8）=2$\overrightarrow{a}$，不成立；
当m=7，n=-6时，$\overrightarrow{AB}$=（6，-8）=-2$\overrightarrow{a}$，成立．
即有B的坐标为（7，-6）．
故答案为：（7，-6）．

点评 本题考查向量的数量积的性质，主要是向量的模的公式的运用，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．