Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2（a_n-1），等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₃，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和S_n=2（a_n-1），n=1时，a₁=2（a₁-1），解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．利用等比数列的通项公式可得∴a_n．等差数列{b_n}满足b₁=a₁=2，b₄=a₃=8．公差d满足：2+3d=8，解得d即可得出．
（II）C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ×4n（n+1）．可得c_2k-1+c_2k=-4（2k-1）×2k+4（2k）（2k+1）=16k．利用分组求和即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和S_n=2（a_n-1），n=1时，a₁=2（a₁-1），解得a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
等差数列{b_n}满足b₁=a₁=2，b₄=a₃=8，其中n∈N*．
公差d满足：2+3d=8，解得d=2．
∴b_n=2+2（n-1）=2n．
（II）C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ×4n（n+1）．
∴c_2k-1+c_2k=-4（2k-1）×2k+4（2k）（2k+1）=16k．
∴数列{c_n}的前2n项和T_2n=16×（1+2+…+n）=16×$\frac{n（n+1）}{2}$=8n²+8n．

点评 本题考查了分组求和方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．