Question

9．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（-4，4），（2，-4），圆E是△ABC的外接圆．
（1）求圆E的方程；
（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．
（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（-4，4），（2，-4），
∴AB是直径，则AB的中点（-1，0），即圆心E（-1，0），
半径R=|BE|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-4）^{2}}$=$\sqrt{9+16}$=$\sqrt{25}$=5，
则圆E的方程为（x+1）²+y²=25．
（2）∵（4+1）²+10²=125＞25，
∴点M在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4-（-1）=5．此时满足直线和圆相切，
当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y-10=k（x-4），
即kx-y+10-4k=0，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|-k+10-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|10-5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=5，
即|2-k|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，平方得4-4k+k²=1+k²，
即4k=3，
则k=$\frac{3}{4}$，此时切线方程为3x-4y+28=0，
综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x-4y+28=0或x=4．

点评 本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆的切线，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．