Question

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）-4．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵曲线C₂的极坐标方程转化为ρ²=4ρsinθ+4ρcosθ-4，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，得：（x-2）²+（y-2）²=4，由此得到曲线C₂表示以（2，2）为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）消去参数得曲线C₁的直角坐标方程为tanα•x-y-tanα+1=0，求出圆心C₂（2，2）到曲线C₁：tanα•x-y-tanα+1=0的距离d，|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）-4=4ρsinθ+4ρcosθ-4，
∴由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
得到曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²=4y+4x-4，
整理，得：（x-2）²+（y-2）²=4，
∴曲线C₂表示以（2，2）为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得曲线C₁的直角坐标方程为tanα•x-y-tanα+1=0，
当曲线C₁过圆心C₂（2，2）时，tanα=1，α=45°，
此时|AB|取最大值2r=2$\sqrt{2}$．
圆心C₂（2，2）到曲线C₁：tanα•x-y-tanα+1=0的距离为：
d=$\frac{|2tanα-2-tanα+1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$=$\frac{|tanα-1|}{\sqrt{ta{n}^{2}α+1}}$，
|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{ta{n}^{2}α+1-2tanα}{ta{n}^{2}α+1}}$=2$\sqrt{1+\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+1}}$，
∴当tanα=0，即α=0时，|AB|取最小值2．

点评 本小题主要考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的最值的求法，考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．