Question

16．函数f（x）=Asin（ωx-φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（$\frac{α}{2}$）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）据函数的最值得到A=1，再由函数的周期为，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ=$\frac{π}{6}$，从而得到函数的表达式，
（2）f（$\frac{α}{2}$）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最后代入即得要求α值．

解答 解：（1）由函数图象可知：A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
将点（$\frac{π}{3}$，2）代入sin（2×$\frac{π}{3}$-φ）+1=2，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
（2）f（$\frac{α}{2}$）=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴α=$\frac{π}{2}$．

点评 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识，属于中档题．