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    【题目】已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是，边长为的菱形，又底面(即与底面内的任意一条直线垂直)，且，点分别是棱的中点.

    （1）求异面直线与所成角的余弦值

    （2）求点到平面的距离.

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    （1）取中点为，易证得，从而（或其补角）为异面直线与所成角，再解三角形即可求出；

    （2）根据等积法即可求出．

    （1）如图所示：

    取中点为，连接，，．

    因为底面为菱形，分别为的中点，所以，即四边形为平行四边形，所以，所以（或其补角）为异面直线与所成角．

    由题知为，因为，所以，

    在中，为中位线，即．

    由题可知，在中，由余弦定理可知，

    ，

    即异面直线与所成角的余弦值为．

    （2）设点到到平面的距离为，

    由题知，

    由可得，，所以．

    即点到到平面的距离为．

    练习册系列答案
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    年龄（岁）

    频数

    5

    15

    10

    10

    5

    5

    了解

    4

    12

    6

    5

    2

    1

    （1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

    （2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

    了解新高考

    不了解新高考

    总计

    中青年

    中老年

    总计

    附：.

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    （3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.

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    【题目】某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为一等品；指标在区间的为二等品，现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：

    若从甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取5件，再从这5件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；

    该厂所生产这种零件，若是一等品每件可售50元，若是二等品每件可售20元甲种生产方式每生产一件零件无论是一等品还是二等品的成本为10元，乙种生产方式每生产一件零件无论是一等品还是二等品的成本为18元将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，哪种生产方式生产的零件所获得的平均利润较高？

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    【题目】2019年11月，第2届中国国际进口博览会在中国上海召开，盛况空前，吸引了全球2800多家企业来参加.为评估企业的竞争力和长远合作能力，需要调查企业所在国家的经济状况.某机构抽取了50个国家，按照它们2017年的GDP总量，将收集的数据分成，，， ，（单位：亿美元）五组，做出下图的频率分布直方图：

    （1）试根据频率分布直方图估计这些国家的平均GDP（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

    （2）研究人员发现所抽取的50个国家中，有些很早就与中国建交开展合作，有些近期才开始与中国合作，将两类国家分为“合作过”和“未合作过”.请根据频率分布直方图完成上表，并说明是否有95﹪的把握说明这些国家的GDP超过4000亿美元与中国合作有关.

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    【题目】某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：

    企业：

    工资

    人数

    5

    10

    20

    42

    18

    3

    1

    1

    企业：

    （1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；

    （2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.

    （ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.

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