Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，有下列命题：
（1）若数列{a_n}的极限存在但不为零，则数列{S_n}的极限一定不存在；
（2）无穷数列{S_2n}、{S_2n-1}的极限均存在，则数列{S_n}的极限一定存在；
（3）若{a_n}是等差数列（公差d≠0），则S₁•S₂•…•S_k=O的充要条件是a₁•a₂•…•a_k=O；
（4）若{a_n}是等比数列，则S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）的充要条件是a_n+a_n+1=0．
其中，错误命题的序号是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（2）（3）
• C、（3）（4）
• D、（1）（4）

Answer 1

考点：极限及其运算,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）用反证法：假设数列{S_n}的极限存在，得到

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(Sn-Sn-1)=0，得出矛盾．
（2）若无穷数列{S_2n}、{S_2n-1}的极限均存在，但是不相等，则数列{S_n}的极限一定不存在．
（3）例如：等差数列：6，4，2，0，-2，-4，-6．a₁a₂a₃a₄=0推不出S₁S₂S₃S₄=0；
同样对于等差数列：6，2，-2，-6．S₁S₂S₃S₄=0，推不出a₁a₂a₃a₄=0．
（4）{a_n}是等比数列，a_n+a_n+1=0?a_n（1+q）=0（q为公比）?q=-1?Si=

a1[1-(-1)i]

2

=0，当i为偶数时?S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）．

解答： 解：（1）假设数列{S_n}的极限存在，则

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

Sn-1，∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

(Sn-Sn-1)=

lim

n→∞

Sn-

lim

n→∞

Sn-1=0，则与数列{a_n}的极限存在但不为零相矛盾，因此数列{S_n}的极限一定不存在正确；
（2）若无穷数列{S_2n}、{S_2n-1}的极限均存在，但是不相等，则数列{S_n}的极限一定不存在，否则矛盾；
（3）举反例：等差数列：6，4，2，0，-2，-4，-6．a₁a₂a₃a₄=0推不出S₁S₂S₃S₄=0；
同样对于等差数列：6，2，-2，-6．S₁S₂S₃S₄=0，推不出a₁a₂a₃a₄=0．
因此对于：{a_n}是等差数列（公差d≠0），则S₁•S₂•…•S_k=O是a₁•a₂•…•a_k=O既不充分也不必要条件；因此不正确．
（4）∵{a_n}是等比数列，a_n+a_n+1=0?a_n（1+q）=0（q为公比）?q=-1?Si=

a1[1-(-1)i]

2

=0，当i为偶数时?S₁•S₂•…•S_k=O（k≥2）．正确．
综上可知：只有（2）（3）是错误的．

点评：本题考查了数列极限问题、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，属于难题．