Question

18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=$\sqrt{3}$asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简可得$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．
（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2$+\sqrt{3}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$asinB=bcosA．
由正弦定理，得：$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA，
∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA，即tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵由a=1，A=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理，1=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc，得：bc≤2$+\sqrt{3}$，当且仅当b=c等号成立，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$（2+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面积的最大值为$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正、余弦定理和内角和定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合运用，考查运算能力，属于中档题．