Question

6．角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=$\frac{1}{3}$，则cos2A值为-$\frac{\sqrt{17}}{9}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinA和cosA的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2A的值．

解答 解：角A为△ABC的一个内角，且sinA+cosA=$\frac{1}{3}$ ①，∴1+2sinAcosA=$\frac{1}{9}$，∴sinAcosA=-$\frac{4}{9}$，
∴A为钝角，∴sinA-cosA=$\sqrt{{（sinA-cosA）}^{2}}$=$\sqrt{1-2•（-\frac{4}{9}）}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$②，
由①②求得sinA=$\frac{1+\sqrt{17}}{6}$，cosA=$\frac{1-\sqrt{17}}{6}$，则cos2A=2cos²A-1=-$\frac{\sqrt{17}}{9}$，
故答案为：$-\frac{\sqrt{17}}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．