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已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)证明:对任意的,存在唯一的,使
(3)设(2)中所确定的关于的函数为,证明:当时,有.

(1)减区间是,增区间是;(2)详见解析;(3)详见解析.

解析试题分析:(1)先确定函数的定义域,然后利用导数求出函数的单调区间;(2)构造函数
,利用函数的单调性与零点存在定理来证明题中结论;(3)根据(2)中的结论得到
,利用换元法令得到,于是将问题转化为,构造新函数,利用导数来证明在区间上恒成立即可.
试题解析:(1)函数的定义域为
,令,得
变化时,的变化情况如下表:











极小值

所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是
(2)当时,.设,令
由(1)知在区间内单调递增,

故存在唯一的,使得成立;
(3),由(2)知,,且
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,其中为实数.
(1)当时,求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对一切的实数,有恒成立,其中的导函数,求实数的取值范围.

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已知某工厂生产件产品的成本为(元),
问:(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品?
(2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

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若存在过点的直线与曲线都相切,求的值

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已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.

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已知函数,(其中常数
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若存在实数使得不等式成立,求的取值范围.

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已知函数.
⑴求函数处的切线方程;
⑵当时,求证:
⑶若,且对任意恒成立,求k的最大值.

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已知函数(其中为常数).
(1)如果函数有相同的极值点,求的值;
(2)设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)记函数,若函数有5个不同的零点,求实数的取值范围.

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已知函数
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,函数图像上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.

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