Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A、B分别在x、y轴上运动，且|AB|=2，若$\overrightarrow m=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$，则$|\overrightarrow m|$的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{2}{3}，\frac{4}{3}]$
• B． $[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$
• C． [0，2]
• D． $[0，\frac{{2\sqrt{5}}}{3}]$

Answer 1

分析 设|OA|=x，则|OB|=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，求出$|\overrightarrow{m}{|}^{2}$关于x的函数，根据x的范围求出函数的最值．

解答 解：设|OA|=x，则|OB|=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2），
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴${\overrightarrow{m}}^{2}$=$\frac{1}{9}{x}^{2}+\frac{4}{9}（4-{x}^{2}）$=$\frac{16}{9}$-$\frac{1}{3}{x}^{2}$．
∴当x=0时，${\overrightarrow{m}}^{2}$取得最大值$\frac{16}{9}$；当x=2时，${\overrightarrow{m}}^{2}$取得最小值$\frac{4}{9}$．
∴$\frac{2}{3}$≤$|\overrightarrow{m}|$≤$\frac{4}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，将数量积转化为x的函数是关键．