Question

13．已知函数f（x）=2|x+2|-|x+1|，无穷数列{a_n}的首项a₁=a．
（1）如果a_n=f（n）（n∈N^*），写出数列{a_n}的通项公式；
（2）如果a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2），要使得数列{a_n}是等差数列，求首项a的取值范围；
（3）如果a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2），求出数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a_n=f（n）=n+3．
（2）如果{a_n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．
（3）当a≥-1时，求出前n项和，当-2≤a≤-1时，当a≤-2时，分别求出n项和即可．

解答 （18分）解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≥-1}\\{3x+5，-2＜x≤-1}\\{-x-3，x≤-2}\end{array}\right.$，…（2分）
又n≥1且n∈N^*，∴a_n=f（n）=n+3．…（4分）
（2）如果{a_n}是等差数列，则a_n-a_n-1=d，a_n=a_n-1+d，
由f（x）知一定有a_n=a_n-1+3，公差d=3．
当a₁≥-1时，符合题意．
当-2≤a₁≤-1时，a₂=3a₁+5，由a₂-a₁=3得3a₁+5-a₁=3，得a₁=-1，a₂=2．
当a₁≤-2时，a₂=-a₁-3，由a₂-a₁=3得-a₁-3-a₁=3，得a₁=-3，此时a₂=0．
综上所述，可得a的取值范围是a≥-1或a=-3．…（9分）
（3）当a≥-1时，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+3，∴数列{a_n}是以a为首项，公差为3的等差数列，${S_n}=na+\frac{n（n-1）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}+（a-\frac{3}{2}）n$．…（12分）
当-2≤a≤-1时，a₂=3a₁+5=3a+5≥-1，∴n≥3时，a_n=a_n-1+3．∴n=1时，S₁=a．n≥2时，${S_n}=a+（n-1）{a_2}+\frac{（n-1）（n-2）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2$
又S₁=a也满足上式，∴${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2$（n∈N^*）…（15分）
当a≤-2时，a₂=-a₁-3=-a-3≥-1，∴n≥3时，a_n=a_n-1+3．∴n=1时，S₁=a．n≥2时，${S_n}=a+（n-1）{a_2}+\frac{（n-1）（n-2）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6$
又S₁=a也满足上式，∴${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6$（n∈N^*）．
综上所述：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{n}^{2}+（a-\frac{3}{2}）n，a≥-1}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2，-2＜a≤-1}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6，a≤-2}\end{array}\right.$．…（18分）．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．