Question

2．如图，F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2$\sqrt{2}$，动弦AB平行于x轴，且|F₁A|+|F₁B|=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P是椭圆C上异于点$a＞\sqrt{5}$、A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，若MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂是定值．

Answer 1

分析 （1）由题意焦距求得c，由对称性结合|F₁A|+|F₁B|=4可得2a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），则A（-x₀，y₀），分别写出PA、PB所在直线方程，求出M、N的坐标，进一步求出MF₂、NF₂的斜率分别为k₁、k₂，结合A、B在椭圆上可得k₁•k₂是定值．

解答 解：（1）∵焦距$2\sqrt{2}$，∴2c=2$\sqrt{2}$，得c=$\sqrt{2}$，
由椭圆的对称性及已知得|F₁A|=|F₂B|，又∵|F₁A|+|F₁B|=4，|F₁B|+|F₂B|=4，
因此2a=4，a=2，于是b=$\sqrt{2}$，因此椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），则A（-x₀，y₀），
直线PA的方程为$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}（x-{x}_{1}）$，令x=0，得$y=\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$，
故M（0，$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$）；
直线PB的方程为$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}（x-{x}_{1}）$，令x=0，得$y=\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$，
故N（0，$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$）；
∴${k}_{1}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{0}）}$，${k}_{2}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}-{x}_{0}）}$，
因此${k}_{1}•{k}_{2}=\frac{1}{2}\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$．
∵A，B在椭圆C上，∴${{y}_{1}}^{2}=2-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}，{{y}_{0}}^{2}=2-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}）-{{x}_{0}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=1$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．