Question

17．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：解：∵x∈D，点（x，g（x）） 与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，
∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，
作出g（x）和f（x）的图象，
若h（x）≥g（x）恒成立，
则h（x）在直线f（x）的上方，
即g（x）在直线f（x）的下方，
则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，
d=$\frac{|b|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{|b|}{\sqrt{5}}≥1$⇒b≥$\sqrt{5}$或b$≤-\sqrt{5}$（舍去）
即实数b的取值范围是[$\sqrt{5}$，+∞），

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．