Question

7．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得$\sum_{i=1}^{10}{x_i}=80$，$\sum_{i=1}^{10}{y_i}=20$，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}{y_i}}=184$，$\sum_{i=1}^{10}{x_i^2}=720$．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为12千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}y{\;}_i^{\;}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．其中$\overline x$，$\overline y$为样本平均值，线性回归方程也可写为$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出回归方程；
（Ⅱ）由回归系数$\stackrel{∧}{b}$＞0，判断是正相关；
（Ⅲ）计算x=12时$\stackrel{∧}{y}$的值，即可预测该家庭的月储蓄．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×80=8，$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×20=2，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{184-10×8×2}{720-10{×8}^{2}}$=0.3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=2-0.3×8=-0.4，
∴回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.3x-0.4；…（4分）
（Ⅱ）由于回归系数$\stackrel{∧}{b}$=0.3＞0，
∴变量y与x之间是正相关；…（6分）
（Ⅲ））x=12时，$\stackrel{∧}{y}$=0.3×12-0.4=3.2（千元），
即某家庭月收入为12千元时，预测该家庭的月储蓄是3.2千元．

点评 本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．