Question

18．已知函数$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$，且f（1）=2，f（2）=3．
（I）若f（x）是偶函数，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函数，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的条件下，证明f（x）在区间$（0，\frac{1}{2}）$上单调递减．

Answer 1

分析 （I）根据f（x）是偶函数，可得f（-x）=f（x），那么有 f（-1）=f（1）=2，可求a，b，c的值．可得解析式
（II）根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），那么有 f（-1）=-f（1）=-2，可求a，b，c的值．可得解析式
（III）定义法证明其单调性．

解答 解：（I）函数$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$，且f（x）是偶函数，f（1）=2，f（2）=3．
则有 f（-1）=f（1）=2，
那么：那么：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{a+1}{b+c}}\\{2=\frac{a+1}{-b+c}}\\{3=\frac{4a+1}{2b+c}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{4}{5}$，b=0，c=$\frac{3}{5}$．
∴f（x）的解析式为f（x）=$\frac{\frac{4}{5}{x}^{2}+1}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4{x}^{2}+5}{3}$
（II）f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），则有 f（-1）=-f（1）=-2，
那么：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{a+1}{b+c}}\\{-2=\frac{a+1}{-b+c}}\\{3=\frac{4a+1}{2b+c}}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=$\frac{3}{2}$，c=0．
∴f（x）的解析式为f（x）=$\frac{4{x}^{2}+2}{3x}$．
（III）由（II）可得f（x）=$\frac{4{x}^{2}+2}{3x}$．
设$0＜{x}_{1}＜{x}_{2}＜\frac{1}{2}$，
那么：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+2}{3{x}_{1}}-\frac{4{{x}_{2}}^{2}+2}{3{x}_{2}}$=$\frac{12{{x}_{1}x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-6（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{（4{{x}_{1}x}_{2}-2）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{3{x}_{1}{x}_{2}}$
∵${x}_{1}＜\frac{1}{2}，{x}_{2}＜\frac{1}{2}$，
∴${x}_{2}{x}_{1}＜\frac{1}{2}$，
4x₁x₂-2＜0．
故：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在区间$（0，\frac{1}{2}）$上单调递减．

点评 本题考查了函数的奇偶性的性质的运用和定义证明单调性问题．属于基础题．