Question

已知椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上任意一点P，A₁，A₂是椭圆的左、右顶点，设直线PA₁，PA₂斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2=

 

，现类比上述求解方法，可以得出以下命题：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上任意一点P，A₁，A₂是双曲线的左、右顶点，设直线PA₁，PA₂斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：（1）先求出椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，设P（x₀，y₀），再求出直线PA₁的斜率为k PA1，直线PA₂的斜率为k PA2，由此列出k PA1•k PA2的式子，根据等价转化思想求出k₁•k₂的值即可；
（2）类比上述求解方法，在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，设直线PA₁，PA₂斜率分别为k PA1，k PA2，则k PA1•k PA2=-

-b2

a2

=

b2

a2

，据此解答即可．

解答： 解：（1）椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的左、右顶点分别为A₁，（-3，0），A₂，（3，0），
设P（x₀，y₀），
则k PA1•k PA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴

x02

9

+

y02

5

=1
∴y02=

5

9

（9-x02）
∴k PA1•k PA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

5

9

•

9-x02

x02-9

=-

5

9

（2）类比上述求解方法，在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
设直线PA₁，PA₂斜率分别为k PA1，k PA2，
则k PA1•k PA2=-

-b2

a2

=

b2

a2

．
故答案为：-

5

9

、

b2

a2

．

点评：本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．