Question

15．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆Γ：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1的一个焦点重合，点M（x₀，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程以及|MF|的值；
（Ⅱ）记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数λ∈R，使得$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$且|HA|²+|HB|²=$\frac{85}{4}$都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则$\frac{p}{2}=1$，即可求得p的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得|MF|的值；
（2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得$4{t^2}=λ+\frac{1}{λ}-2$，利用两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数λ的值．

解答 解：（1）依题意，椭圆$Γ：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，a²=2，b²=1，
故c²=a²-b²=1，F（1，0），
故$\frac{p}{2}=1$，则2p=4，
故抛物线C的方程为y²=4x，
将M（x₀，2）代入y²=4x，解得x₀=1，
故$|{MF}|=1+\frac{p}{2}=2$．…（4分）
（2）依题意，F（1，0），设l：x=ty+1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=ty+1\end{array}\right.$，消去x，得y²-4ty-4=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4t\\{y_1}{y_2}=-4\end{array}\right.$…①
且$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=t{y_1}+1\\{x_2}=t{y_2}+1\end{array}\right.$，又$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$则（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，代入 ①
得$\left\{\begin{array}{l}（{1-λ}）{y_2}=4t\\-λy_2^2=-4\end{array}\right.$，…（6分）
消去y₂得$4{t^2}=λ+\frac{1}{λ}-2$，且H（-1，0），…（8分）
|HA|²+|HB|²=（x₁+1）²+y₁²+（x₂+1）²+y₂²=x₁²+x₂²+2（x₁+x₂）+2+y₁²+y₂²，
=${（{t{y_1}+1}）^2}+{（{t{y_2}+1}）^2}+2（{t{y_1}+t{y_2}+2}）+2+y_1^2+y_2^2$，
=$（{{t^2}+1}）（{y_1^2+y_2^2}）+4t（{{y_1}+{y_2}}）+8$，
=（t²+1）（16t²+8）+4t•4t+8=16t⁴+40t²+16．
由$16{t^4}+40{t^2}+16=\frac{85}{4}$，…（10分）
解得${t^2}=\frac{1}{8}$或${t^2}=-\frac{21}{8}$（舍），
故λ=2或$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．